Решите уравнение \(4\sin 3t\sin t+2\cos 2t+1=0\).

Используем формулу произведения синусов: \(2\sin A\sin B=\cos(A-B)-\cos(A+B)\).

\(4\sin 3t\sin t=2(\cos 2t-\cos 4t)\), поэтому уравнение принимает вид \(4\cos 2t-2\cos 4t+1=0\).

Положим \(x=\cos 2t\) и воспользуемся равенством \(\cos 4t=2x^2-1\):

\(4x-2(2x^2-1)+1=0\),
\(4x^2-4x-3=0\),
\((2x-3)(2x+1)=0\).

Получаем \(x=\frac32\) или \(x=-\frac12\). Так как \(\cos 2t\in[-1,1]\), значение \(\frac32\) не подходит. Следовательно, \(\cos 2t=-\frac12\), откуда \(2t=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n\), где \(n\in\mathbb Z\).

Ответ: \(t=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z\) (первый вариант).