Решите уравнение 4: \(\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2-4}=0\)

Решение:

Данное уравнение имеет вид \(\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2-4}=0\).

Для того чтобы сумма двух квадратных корней была равна нулю, оба корня должны быть равны нулю. Это возможно только в случае, если выражения под корнями неотрицательны и одновременно равны нулю.

Рассмотрим условия существования корней:

1. \(x^2+2x \ge 0 \implies x(x+2) \ge 0\). Это неравенство выполняется при \(x \in (-\infty, -2] \cup [0, \infty)\).
2. \(x^2-4 \ge 0 \implies (x-2)(x+2) \ge 0\). Это неравенство выполняется при \(x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)\).

Для того чтобы оба корня существовали одновременно, нужно найти пересечение этих двух множеств:

\((-\infty, -2] \cup [0, \infty)) \cap (-\infty, -2] \cup [2, \infty) = (-\infty, -2] \cup [2, \infty)\).

Теперь приравняем выражения под корнями к нулю:

1. \(x^2+2x=0 \implies x(x+2)=0\). Корни: \(x=0\) или \(x=-2\).
2. \(x^2-4=0 \implies (x-2)(x+2)=0\). Корни: \(x=2\) или \(x=-2\).

Единственным общим корнем для обоих уравнений является \(x=-2\).

Проверим, удовлетворяет ли \(x=-2\) условиям существования корней:

• При \(x=-2\): \(x^2+2x = (-2)^2 + 2(-2) = 4 - 4 = 0\).
• При \(x=-2\): \(x^2-4 = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0\).

Таким образом, при \(x=-2\) уравнение принимает вид \(\sqrt{0}+\sqrt{0}=0\), что является верным равенством.

Других значений \(x\), при которых оба выражения под корнями одновременно равны нулю, не существует.

Значит, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: x = -2.