Решите уравнение: (4х+3)² = (2x+5)².

Решение:

Данное уравнение является уравнением вида \( a^2 = b^2 \), которое можно решить двумя способами: как разность квадратов или как совокупность двух линейных уравнений.

1. Способ 1: Разность квадратов
   Перенесём всё в одну часть: \( (4x+3)^2 - (2x+5)^2 = 0 \).
   Применим формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \):
   \[ ((4x+3) - (2x+5))((4x+3) + (2x+5)) = 0 \]
   \[ (4x+3-2x-5)(4x+3+2x+5) = 0 \]
   \[ (2x-2)(6x+8) = 0 \]
   Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
   \( 2x-2 = 0 \) или \( 6x+8 = 0 \)
   \( 2x = 2 \) или \( 6x = -8 \)
   \( x = 1 \) или \( x = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3} \)
2. Способ 2: Совокупность уравнений
   Из равенства \( a^2 = b^2 \) следует, что \( a = b \) или \( a = -b \).
   Следовательно:
   \( 4x+3 = 2x+5 \) или \( 4x+3 = -(2x+5) \>
   Решим первое уравнение:
   \( 4x - 2x = 5 - 3 \)
   \( 2x = 2 \)
   \( x = 1 \>
   Решим второе уравнение:
   \( 4x+3 = -2x-5 \)
   \( 4x + 2x = -5 - 3 \)
   \( 6x = -8 \)
   \( x = -\(\frac{8}{6}\) = -\(\frac{4}{3}\) \>

Оба способа дают одинаковые корни.

Ответ: x = 1, x = -\(\frac{4}{3}\).