Решите уравнение: 4sin^2x - cosx - 1 = 0

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2x = 1 - \cos^2x \) для замены \( \sin^2x \) в уравнении:

\[ 4(1 - \cos^2x) - \cos x - 1 = 0 \]

Раскроем скобки:

\[ 4 - 4\cos^2x - \cos x - 1 = 0 \]

Приведём подобные слагаемые:

\[ -4\cos^2x - \cos x + 3 = 0 \]

Умножим всё уравнение на -1, чтобы старший коэффициент стал положительным:

\[ 4\cos^2x + \cos x - 3 = 0 \]

Сделаем замену переменной: пусть \( t = \cos x \). Уравнение примет вид:

\[ 4t^2 + t - 3 = 0 \]

Это квадратное уравнение относительно \( t \). Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 \]

Найдём корни \( t \):

\[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \]

\[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 - 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \]

Теперь вернёмся к замене \( t = \cos x \):

1. \( \cos x = \frac{3}{4} \)

Это возможно, так как \( -1 \le \frac{3}{4} \le 1 \). Решения:

\[ x = \pm \arccos \left( \frac{3}{4} \right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

2. \( \cos x = -1 \)

Это возможно, так как \( -1 \le -1 \le 1 \). Решения:

\[ x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \pm \arccos \left( \frac{3}{4} \right) + 2\pi n \) и \( x = \pi + 2\pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).