Решите уравнение: 4 x²+12x+36 + 12 x²-36 = 1 x-6 Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них. Если уравнение не имеет корней, оставьте поле ответа пустым. x=

Привет! Давай разберемся с этим уравнением вместе. Нам нужно найти значение x.

Уравнение:

• \[ \frac{4}{x^2+12x+36} + \frac{12}{x^2-36} = \frac{1}{x-6} \]

Шаг 1: Разложим знаменатели на множители.

• Первый знаменатель: x² + 12x + 36 — это полный квадрат суммы: \[ (x+6)^2 \]
• Второй знаменатель: x² - 36 — это разность квадратов: \[ (x-6)(x+6) \]

Шаг 2: Перепишем уравнение с разложенными знаменателями.

• \[ \frac{4}{(x+6)^2} + \frac{12}{(x-6)(x+6)} = \frac{1}{x-6} \]

Шаг 3: Найдем общий знаменатель.

• Общий знаменатель будет \[ (x+6)^2(x-6) \]
• Важно: x не может быть равен -6 или 6, так как знаменатели обратятся в ноль.

Шаг 4: Приведем дроби к общему знаменателю.

• Умножим числитель и знаменатель первой дроби на \[ (x-6) \]
• Умножим числитель и знаменатель второй дроби на \[ (x+6) \]
• Третью дробь умножим на \[ (x+6)^2 \]

Получим:

• \[ \frac{4(x-6)}{(x+6)^2(x-6)} + \frac{12(x+6)}{(x-6)(x+6)^2} = \frac{1(x+6)^2}{(x-6)(x+6)^2} \]

Шаг 5: Приравняем числители.

• \[ 4(x-6) + 12(x+6) = (x+6)^2 \]
• \[ 4x - 24 + 12x + 72 = x^2 + 12x + 36 \]
• \[ 16x + 48 = x^2 + 12x + 36 \]

Шаг 6: Приведем всё к квадратному уравнению.

• \[ x^2 + 12x + 36 - 16x - 48 = 0 \]
• \[ x^2 - 4x - 12 = 0 \]

Шаг 7: Решим квадратное уравнение.

Найдем дискриминант:

• \[ D = b^2 - 4ac \]
• \[ D = (-4)^2 - 4(1)(-12) \]
• \[ D = 16 + 48 \]
• \[ D = 64 \]

Найдем корни:

• \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]
• \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Шаг 8: Проверим корни.

Мы знаем, что x не может быть равен 6 или -6.

• Корень x = 6 не подходит, так как он обращает знаменатель в ноль.
• Корень x = -2 подходит.

Шаг 9: Выберем больший корень.

Поскольку у нас остался только один допустимый корень x = -2, он и является ответом.

Ответ: -2