Решите уравнение: 5^x + 125/(5^x) = 30

Решение:

Пусть \( y = 5^x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y + \frac{125}{y} = 30 \]

Умножим обе части уравнения на \( y \), чтобы избавиться от знаменателя (при \( y \neq 0 \), что всегда верно для \( 5^x \)):

\[ y^2 + 125 = 30y \]

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ y^2 - 30y + 125 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 125 = 900 - 500 = 400 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{400} = 20 \)

Найдем корни уравнения для \( y \):

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{30 + 20}{2} = \frac{50}{2} = 25 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{30 - 20}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

Теперь вернемся к замене \( y = 5^x \):

1. Для \( y_1 = 25 \):

\[ 5^x = 25 \]

\[ 5^x = 5^2 \]

Отсюда \( x = 2 \).

2. Для \( y_2 = 5 \):

\[ 5^x = 5 \]

\[ 5^x = 5^1 \]

Отсюда \( x = 1 \).

Проверим найденные корни:

Если \( x=2 \): \( 5^2 + \frac{125}{5^2} = 25 + \frac{125}{25} = 25 + 5 = 30 \) (Верно)

Если \( x=1 \): \( 5^1 + \frac{125}{5^1} = 5 + \frac{125}{5} = 5 + 25 = 30 \) (Верно)

Ответ: x = 1, x = 2.