Решите уравнение |6-x|-|x+11|=7.

Решение:

Решим уравнение \( |6-x| - |x+11| = 7 \) методом интервалов.

Определим точки, в которых выражения под модулями равны нулю:

• \( 6 - x = 0 \rightarrow x = 6 \)
• \( x + 11 = 0 \rightarrow x = -11 \)

Эти точки делят числовую прямую на три интервала: \( (-\infty; -11] \), \( (-11; 6] \) и \( (6; +\infty) \).

1. Интервал \( x \in (-\infty; -11] \):

• \( 6 - x > 0 \) (например, \( 6 - (-12) = 18 \)), значит \( |6-x| = 6-x \).
• \( x + 11 \le 0 \) (например, \( -12 + 11 = -1 \)), значит \( |x+11| = -(x+11) \).

Уравнение примет вид:

\( (6-x) - (-(x+11)) = 7 \)

\( 6 - x + x + 11 = 7 \)

\( 17 = 7 \) — ложное равенство. На этом интервале решений нет.

2. Интервал \( x \in (-11; 6] \):

• \( 6 - x \ge 0 \) (например, \( 6 - 0 = 6 \)), значит \( |6-x| = 6-x \).
• \( x + 11 > 0 \) (например, \( -10 + 11 = 1 \)), значит \( |x+11| = x+11 \).

Уравнение примет вид:

\( (6-x) - (x+11) = 7 \)

\( 6 - x - x - 11 = 7 \)

\( -2x - 5 = 7 \)

\( -2x = 12 \)

\( x = -6 \)

Число \( -6 \) принадлежит интервалу \( (-11; 6] \), значит, \( x = -6 \) — решение.

3. Интервал \( x \in (6; +\infty) \):

• \( 6 - x < 0 \) (например, \( 6 - 7 = -1 \)), значит \( |6-x| = -(6-x) = x-6 \).
• \( x + 11 > 0 \) (например, \( 7 + 11 = 18 \)), значит \( |x+11| = x+11 \).

Уравнение примет вид:

\( (x-6) - (x+11) = 7 \)

\( x - 6 - x - 11 = 7 \)

\( -17 = 7 \) — ложное равенство. На этом интервале решений нет.

Проверка:

Подставим \( x = -6 \) в исходное уравнение:

\( |6 - (-6)| - |-6 + 11| = |12| - |5| = 12 - 5 = 7 \). Равенство верно.

Ответ: -6.