Решите уравнение 9+x / x+1 - x = 2. Сколько решений имеет уравнение? Найдите произведение решений.

Решение:

• Уравнение:\[ \frac{9+x}{x+1} - x = 2 \]
• Приведение к общему знаменателю:\[ \frac{9+x}{x+1} - \frac{x(x+1)}{x+1} = \frac{2(x+1)}{x+1} \]
• Упрощение:\[ 9+x - x^2 - x = 2x + 2 \]
• Приведение к стандартному квадратному виду:\[ -x^2 - 2x + 7 = 0 \]или\[ x^2 + 2x - 7 = 0 \]
• Нахождение дискриминанта:\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-7) = 4 + 28 = 32 \]
• Нахождение корней:\[ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{32}}{2} = \frac{-2 + 4\sqrt{2}}{2} = -1 + 2\sqrt{2} \]\[ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{32}}{2} = \frac{-2 - 4\sqrt{2}}{2} = -1 - 2\sqrt{2} \]
• Проверка на ОДЗ: Знаменатель x+1 не должен быть равен нулю, то есть x ≠ -1. Оба найденных корня не равны -1.
• Произведение решений: По теореме Виета, произведение корней квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 равно c/a. В нашем случае c = -7 и a = 1.
• Произведение:\[ x_1 \times x_2 = \frac{-7}{1} = -7 \]

Ответ: Уравнение имеет 2 решения. Произведение решений равно -7.