1. Решите уравнение: 1) a) \(\frac{x^2+3x}{2} + \frac{x-3x^2}{8} = 2x\); 6) \(\frac{2x+1}{3} - \frac{4x-x^2}{12} = \frac{x^2-4}{9}\); 2) a) \(\frac{x^2}{3-x} = \frac{2x}{3-x}\); 6) \(\frac{x^2-1}{x+5} = \frac{5-x}{x+5}\); 3) a) \(\frac{2x+3}{x+2} = \frac{3x+2}{x}\); 6) \(\frac{y+3}{y-3} = \frac{2y+3}{y}\); 4) a) \(\frac{4x^2-11x-3}{3-x} = 0\); B) \(\frac{2y^2+5y+2}{y^2-4} = 1\); Д) \(\frac{9x+3}{1+3x} = x-7\); б) \(\frac{2x^2+x-1}{2x-1} = 2\); г) \(\frac{3}{x-2} = 2x + 1\); B) \(\frac{x^2+3x}{x-4} = \frac{x^2-x}{4-x}\); г) \(\frac{x^2-6x}{3x-1} = \frac{3x-4}{1-3x}\); B) \(\frac{4x+1}{x-3} = \frac{3x-8}{x+1}\); г) \(\frac{5y-2}{2y+1} = \frac{3y+2}{y+3}\);

1. Решите уравнение:

1) a) \(\frac{x^2+3x}{2} + \frac{x-3x^2}{8} = 2x\)

Давай решим это уравнение! Сначала приведем все члены к общему знаменателю, который равен 8:

\[\frac{4(x^2+3x)}{8} + \frac{x-3x^2}{8} = \frac{16x}{8}\]

Теперь уберем знаменатель, так как он одинаков для всех членов:

\[4(x^2+3x) + x - 3x^2 = 16x\]

Раскроем скобки:

\[4x^2 + 12x + x - 3x^2 = 16x\]

Приведем подобные члены:

\[x^2 + 13x = 16x\]

Перенесем все в одну сторону:

\[x^2 - 3x = 0\]

Вынесем x за скобки:

\[x(x - 3) = 0\]

Теперь найдем корни уравнения:

x = 0 или x - 3 = 0

Таким образом, x = 0 или x = 3

Ответ: x = 0, x = 3

1) б) \(\frac{2x+1}{3} - \frac{4x-x^2}{12} = \frac{x^2-4}{9}\)

Приведем все к общему знаменателю, который равен 36:

\[\frac{12(2x+1)}{36} - \frac{3(4x-x^2)}{36} = \frac{4(x^2-4)}{36}\]

Уберем знаменатель:

\[12(2x+1) - 3(4x-x^2) = 4(x^2-4)\]

Раскроем скобки:

\[24x + 12 - 12x + 3x^2 = 4x^2 - 16\]

Перенесем все в одну сторону:

\[0 = x^2 - 12x - 28\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

\[D = (-12)^2 - 4(1)(-28) = 144 + 112 = 256\]

Корни:

\[x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{256}}{2(1)} = \frac{12 \pm 16}{2}\] \[x_1 = \frac{12 + 16}{2} = 14, x_2 = \frac{12 - 16}{2} = -2\]

Ответ: x = 14, x = -2

2) a) \(\frac{x^2}{3-x} = \frac{2x}{3-x}\)

Умножим обе части на (3-x), при условии, что x ≠ 3:

\[x^2 = 2x\]

Перенесем все в одну сторону:

\[x^2 - 2x = 0\]

Вынесем x за скобки:

\[x(x - 2) = 0\]

Найдем корни:

x = 0 или x - 2 = 0

Таким образом, x = 0 или x = 2

Ответ: x = 0, x = 2

2) б) \(\frac{x^2-1}{x+5} = \frac{5-x}{x+5}\)

Умножим обе части на (x+5), при условии, что x ≠ -5:

\[x^2 - 1 = 5 - x\]

Перенесем все в одну сторону:

\[x^2 + x - 6 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

\[D = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25\]

Корни:

\[x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{-1 \pm 5}{2}\] \[x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = 2, x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = -3\]

Ответ: x = 2, x = -3

3) a) \(\frac{2x+3}{x+2} = \frac{3x+2}{x}\)

Перемножим крест-накрест:

\[x(2x+3) = (x+2)(3x+2)\]

Раскроем скобки:

\[2x^2 + 3x = 3x^2 + 2x + 6x + 4\]

Перенесем все в одну сторону:

\[0 = x^2 + 5x + 4\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

\[D = 5^2 - 4(1)(4) = 25 - 16 = 9\]

Корни:

\[x = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 3}{2}\] \[x_1 = \frac{-5 + 3}{2} = -1, x_2 = \frac{-5 - 3}{2} = -4\]

Ответ: x = -1, x = -4

3) б) \(\frac{y+3}{y-3} = \frac{2y+3}{y}\)

Перемножим крест-накрест:

\[y(y+3) = (y-3)(2y+3)\]

Раскроем скобки:

\[y^2 + 3y = 2y^2 + 3y - 6y - 9\]

Перенесем все в одну сторону:

\[0 = y^2 - 6y - 9\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

\[D = (-6)^2 - 4(1)(-9) = 36 + 36 = 72\]

Корни:

\[y = \frac{-(-6) \pm \sqrt{72}}{2(1)} = \frac{6 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 3\sqrt{2}\]

Ответ: y = 3 + 3\(\sqrt{2}\), y = 3 - 3\(\sqrt{2}\)

4) a) \(\frac{4x^2-11x-3}{3-x} = 0\)

Умножим обе части на (3-x), при условии, что x ≠ 3:

\[4x^2 - 11x - 3 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

\[D = (-11)^2 - 4(4)(-3) = 121 + 48 = 169\]

Корни:

\[x = \frac{-(-11) \pm \sqrt{169}}{2(4)} = \frac{11 \pm 13}{8}\] \[x_1 = \frac{11 + 13}{8} = 3, x_2 = \frac{11 - 13}{8} = -\frac{1}{4}\]

Так как x ≠ 3, остается только один корень:

Ответ: x = -\(\frac{1}{4}\)

4) б) \(\frac{2x^2+x-1}{2x-1} = 2\)

Умножим обе части на (2x-1), при условии, что x ≠ \(\frac{1}{2}\):

\[2x^2 + x - 1 = 2(2x-1)\] \[2x^2 + x - 1 = 4x - 2\]

Перенесем все в одну сторону:

\[2x^2 - 3x + 1 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

\[D = (-3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1\]

Корни:

\[x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{3 \pm 1}{4}\] \[x_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1, x_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}\]

Так как x ≠ \(\frac{1}{2}\), остается только один корень:

Ответ: x = 1

4) в) \(\frac{2y^2+5y+2}{y^2-4} = 1\)

Умножим обе части на (y^2-4), при условии, что y ≠ ±2:

\[2y^2 + 5y + 2 = y^2 - 4\]

Перенесем все в одну сторону:

\[y^2 + 5y + 6 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

\[D = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1\]

Корни:

\[y = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}\] \[y_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2, y_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3\]

Так как y ≠ -2, остается только один корень:

Ответ: y = -3

4) г) \(\frac{3}{x-2} = 2x + 1\)

Умножим обе части на (x-2), при условии, что x ≠ 2:

\[3 = (2x+1)(x-2)\] \[3 = 2x^2 - 4x + x - 2\]

Перенесем все в одну сторону:

\[0 = 2x^2 - 3x - 5\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

\[D = (-3)^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49\]

Корни:

\[x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{49}}{2(2)} = \frac{3 \pm 7}{4}\] \[x_1 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{5}{2}, x_2 = \frac{3 - 7}{4} = -1\]

Ответ: x = \(\frac{5}{2}\), x = -1

4) д) \(\frac{9x+3}{1+3x} = x-7\)

Умножим обе части на (1+3x), при условии, что x ≠ -\(\frac{1}{3}\):

\[9x + 3 = (x-7)(1+3x)\] \[9x + 3 = x + 3x^2 - 7 - 21x\]

Перенесем все в одну сторону:

\[0 = 3x^2 - 29x - 10\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

\[D = (-29)^2 - 4(3)(-10) = 841 + 120 = 961\]

Корни:

\[x = \frac{-(-29) \pm \sqrt{961}}{2(3)} = \frac{29 \pm 31}{6}\] \[x_1 = \frac{29 + 31}{6} = 10, x_2 = \frac{29 - 31}{6} = -\frac{1}{3}\]

Так как x ≠ -\(\frac{1}{3}\), остается только один корень:

Ответ: x = 10

B) \(\frac{x^2+3x}{x-4} = \frac{x^2-x}{4-x}\)

Заметим, что \(4-x = -(x-4)\), поэтому:

\[\frac{x^2+3x}{x-4} = -\frac{x^2-x}{x-4}\]

Умножим обе части на (x-4), при условии, что x ≠ 4:

\[x^2 + 3x = -x^2 + x\]

Перенесем все в одну сторону:

\[2x^2 + 2x = 0\] \[2x(x + 1) = 0\]

Таким образом, x = 0 или x = -1

Ответ: x = 0, x = -1

Г) \(\frac{x^2-6x}{3x-1} = \frac{3x-4}{1-3x}\)

Заметим, что \(1-3x = -(3x-1)\), поэтому:

\[\frac{x^2-6x}{3x-1} = -\frac{3x-4}{3x-1}\]

Умножим обе части на (3x-1), при условии, что x ≠ \(\frac{1}{3}\):

\[x^2 - 6x = -3x + 4\]

Перенесем все в одну сторону:

\[x^2 - 3x - 4 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

\[D = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25\]

Корни:

\[x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{3 \pm 5}{2}\] \[x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4, x_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1\]

Ответ: x = 4, x = -1

В) \(\frac{4x+1}{x-3} = \frac{3x-8}{x+1}\)

Перемножим крест-накрест:

\[(4x+1)(x+1) = (3x-8)(x-3)\] \[4x^2 + 4x + x + 1 = 3x^2 - 9x - 8x + 24\] \[4x^2 + 5x + 1 = 3x^2 - 17x + 24\]

Перенесем все в одну сторону:

\[x^2 + 22x - 23 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

\[D = 22^2 - 4(1)(-23) = 484 + 92 = 576\]

Корни:

\[x = \frac{-22 \pm \sqrt{576}}{2(1)} = \frac{-22 \pm 24}{2}\] \[x_1 = \frac{-22 + 24}{2} = 1, x_2 = \frac{-22 - 24}{2} = -23\]

Ответ: x = 1, x = -23

Г) \(\frac{5y-2}{2y+1} = \frac{3y+2}{y+3}\)

Перемножим крест-накрест:

\[(5y-2)(y+3) = (3y+2)(2y+1)\] \[5y^2 + 15y - 2y - 6 = 6y^2 + 3y + 4y + 2\] \[5y^2 + 13y - 6 = 6y^2 + 7y + 2\]

Перенесем все в одну сторону:

\[0 = y^2 - 6y + 8\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

\[D = (-6)^2 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4\]

Корни:

\[y = \frac{-(-6) \pm \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{6 \pm 2}{2}\] \[y_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4, y_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2\]

Ответ: y = 4, y = 2