1. Решите уравнение: 1) a) \frac{3x-x^{2}}{2} + \frac{2x^{2}-x}{6} = x; б) \frac{3x+1}{4} - \frac{7x-x^{2}-1}{10} = \frac{x^{2}-1}{8};

а)

Решим уравнение:

$$\frac{3x-x^{2}}{2} + \frac{2x^{2}-x}{6} = x$$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$$\frac{3(3x-x^{2})}{6} + \frac{2x^{2}-x}{6} = \frac{6x}{6}$$

Умножим обе части уравнения на 6:

$$3(3x-x^{2}) + 2x^{2}-x = 6x$$

Раскроем скобки:

$$9x - 3x^{2} + 2x^{2} - x = 6x$$

Приведем подобные слагаемые:

$$-x^{2} + 8x = 6x$$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$$-x^{2} + 8x - 6x = 0$$

Приведем подобные слагаемые:

$$-x^{2} + 2x = 0$$

Вынесем общий множитель за скобки:

$$x(-x + 2) = 0$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$$x = 0 \quad \text{или} \quad -x + 2 = 0$$

Решим второе уравнение:

$$-x = -2$$ $$x = 2$$

Следовательно, корни уравнения: 0 и 2.

Ответ: x = 0; x = 2

б)

Решим уравнение:

$$\frac{3x+1}{4} - \frac{7x-x^{2}-1}{10} = \frac{x^{2}-1}{8}$$

Приведем дроби к общему знаменателю 40:

$$\frac{10(3x+1)}{40} - \frac{4(7x-x^{2}-1)}{40} = \frac{5(x^{2}-1)}{40}$$

Умножим обе части уравнения на 40:

$$10(3x+1) - 4(7x-x^{2}-1) = 5(x^{2}-1)$$

Раскроем скобки:

$$30x + 10 - 28x + 4x^{2} + 4 = 5x^{2} - 5$$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$$30x + 10 - 28x + 4x^{2} + 4 - 5x^{2} + 5 = 0$$

Приведем подобные слагаемые:

$$-x^{2} + 2x + 19 = 0$$

Умножим обе части уравнения на -1:

$$x^{2} - 2x - 19 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = b^{2} - 4ac = (-2)^{2} - 4(1)(-19) = 4 + 76 = 80$$

Найдем корни:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 1 \pm 2\sqrt{5}$$

Следовательно, корни уравнения: $$1 + 2\sqrt{5}$$ и $$1 - 2\sqrt{5}$$.

Ответ: $$x = 1 + 2\sqrt{5}; x = 1 - 2\sqrt{5}$$