Решите уравнение: а) \(\frac{x}{4+x}+\frac{x}{x-4}=5\frac{5}{9}\); б) \((3+x)(x^2+3x+4)=0\); в) \(|4x-8|=9\).

а) Область допустимых значений: \(x\ne -4\), \(x\ne 4\). Преобразуем левую часть:

\[\frac{x}{x+4}+\frac{x}{x-4}=\frac{x(x-4)+x(x+4)}{(x+4)(x-4)}=\frac{2x^2}{x^2-16}.\]

Смешанное число \(5\frac{5}{9}=\frac{50}{9}\). Решаем уравнение:

\[\frac{2x^2}{x^2-16}=\frac{50}{9}\quad\Longrightarrow\quad18x^2=50x^2-800\quad\Longrightarrow\quad x^2=25.\]

Получаем \(x=-5\) или \(x=5\). Оба значения допустимы.

б) Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

\[(x+3)(x^2+3x+4)=0.\]

Для квадратного множителя дискриминант \(D=3^2-4\cdot1\cdot4=-7<0\), поэтому действительных корней он не имеет. Из \(x+3=0\) получаем \(x=-3\).

в) Рассматриваем два случая:

\[4x-8=9\quad\text{или}\quad 4x-8=-9.\]

Отсюда \(x=\frac{17}{4}\) или \(x=-\frac{1}{4}\).

Ответ: а) \(x=-5,\ 5\); б) \(x=-3\); в) \(x=-\frac14,\ \frac{17}{4}\).