1. Решите уравнение: 1) a) x²+3x/2 + x-3x²/8 = 2x; 2) a) x²/3-x = 2x/3-x ; б) x²-1/x+5 = 5-x/x+5 ; 3) a) 2x+3/x+2 = 3x+2/x ; б) y+3/y-3 = 2y+3/y ; 4) a) 4x²-11x-3/3-x = 0; б) 2x²+x−1/2x-1 = 2;

1) a) \(\frac{x^2+3x}{2} + \frac{x-3x^2}{8} = 2x\)

• Умножаем обе части уравнения на 8, чтобы избавиться от знаменателей:
• \(4(x^2+3x) + (x-3x^2) = 16x\)
• Раскрываем скобки:
• \(4x^2+12x + x - 3x^2 = 16x\)
• Приводим подобные члены:
• \(x^2 - 3x = 0\)
• Выносим x за скобки:
• \(x(x - 3) = 0\)
• Получаем два решения:
• \(x = 0\) или \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\)

Ответ: x = 0; x = 3

2) a) \(\frac{x^2}{3-x} = \frac{2x}{3-x}\)

• Умножаем обе части уравнения на \((3-x)\):
• \(x^2 = 2x\)
• Переносим все в одну сторону:
• \(x^2 - 2x = 0\)
• Выносим x за скобки:
• \(x(x - 2) = 0\)
• Получаем два решения:
• \(x = 0\) или \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)

Ответ: x = 0; x = 2

б) \(\frac{x^2-1}{x+5} = \frac{5-x}{x+5}\)

• Умножаем обе части уравнения на \((x+5)\):
• \(x^2 - 1 = 5 - x\)
• Переносим все в одну сторону:
• \(x^2 + x - 6 = 0\)
• Решаем квадратное уравнение:
• \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\)
• \(x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2\)
• \(x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3\)

Ответ: x = 2; x = -3

3) a) \(\frac{2x+3}{x+2} = \frac{3x+2}{x}\)

• Умножаем крест на крест:
• \((2x+3)x = (3x+2)(x+2)\)
• Раскрываем скобки:
• \(2x^2 + 3x = 3x^2 + 8x + 4\)
• Переносим все в одну сторону:
• \(x^2 + 5x + 4 = 0\)
• Решаем квадратное уравнение:
• \(D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9\)
• \(x_1 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-5 + 3}{2} = -1\)
• \(x_2 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-5 - 3}{2} = -4\)

Ответ: x = -1; x = -4

б) \(\frac{y+3}{y-3} = \frac{2y+3}{y}\)

• Умножаем крест на крест:
• \((y+3)y = (2y+3)(y-3)\)
• Раскрываем скобки:
• \(y^2 + 3y = 2y^2 - 3y - 9\)
• Переносим все в одну сторону:
• \(y^2 - 6y - 9 = 0\)
• Решаем квадратное уравнение:
• \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 36 + 36 = 72\)
• \(y_1 = \frac{6 + \sqrt{72}}{2} = \frac{6 + 6\sqrt{2}}{2} = 3 + 3\sqrt{2}\)
• \(y_2 = \frac{6 - \sqrt{72}}{2} = \frac{6 - 6\sqrt{2}}{2} = 3 - 3\sqrt{2}\)

Ответ: y = 3 + 3\(\sqrt{2}\); y = 3 - 3\(\sqrt{2}\)

4) a) \(\frac{4x^2-11x-3}{3-x} = 0\)

• Чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю:
• \(4x^2 - 11x - 3 = 0\)
• Решаем квадратное уравнение:
• \(D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169\)
• \(x_1 = \frac{11 + \sqrt{169}}{8} = \frac{11 + 13}{8} = 3\)
• \(x_2 = \frac{11 - \sqrt{169}}{8} = \frac{11 - 13}{8} = -\frac{1}{4}\)
• Проверяем, чтобы знаменатель не был равен нулю:
• \(3 - x
  eq 0 \Rightarrow x
  eq 3\)
• Поэтому \(x = 3\) не является решением.

Ответ: x = -1/4

б) \(\frac{2x^2+x-1}{2x-1} = 2\)

• Умножаем обе части уравнения на \((2x-1)\):
• \(2x^2 + x - 1 = 2(2x - 1)\)
• Раскрываем скобки:
• \(2x^2 + x - 1 = 4x - 2\)
• Переносим все в одну сторону:
• \(2x^2 - 3x + 1 = 0\)
• Решаем квадратное уравнение:
• \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1\)
• \(x_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{4} = \frac{3 + 1}{4} = 1\)
• \(x_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{4} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}\)
• Проверяем, чтобы знаменатель не был равен нулю:
• \(2x - 1
  eq 0 \Rightarrow x
  eq \frac{1}{2}\)
• Поэтому \(x = \frac{1}{2}\) не является решением.

Ответ: x = 1

Ответ: 1) a) x = 0; x = -2; 2) a) x = 0; б) x = ±2; 3) a) x = -1; x = -2; б) y = -3; y = 1; 4) a) x = -1/4; x = 3.