1) Решите уравнение 2cos^2 x+ \sqrt{2} cosx-2= 0. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2\pi;\frac{7\pi}{2}].

Решение:

1) Решим уравнение: 2cos²x+ \sqrt{2} cosx-2= 0

Пусть cosx = t , тогда уравнение примет вид:

2t²+ \sqrt{2}t - 2 = 0

Найдем дискриминант:

D = (\sqrt{2})² - 4*2*(-2) = 2 + 16 = 18

Найдем корни:

t₁ = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{18}}{4} = \frac{-\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}

t₂ = \frac{-\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{4} = \frac{-4\sqrt{2}}{4} = -\sqrt{2}

Вернемся к замене:

cosx = \frac{\sqrt{2}}{2} или cosx = -\sqrt{2}

x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z , так как -1 \leqslant cosx \leqslant 1

2) Найдем корни, принадлежащие отрезку [2\pi;\frac{7\pi}{2}].

x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z или x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z

При n = 1:

x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{\pi + 8\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} \approx 7.069, \frac{9\pi}{4} \in [2\pi;\frac{7\pi}{2}] \approx [6.283;10.996]

x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{-\pi + 8\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \approx 5.498, \frac{7\pi}{4}
otin [2\pi;\frac{7\pi}{2}] \approx [6.283;10.996]

При n = 2:

x = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{\pi + 16\pi}{4} = \frac{17\pi}{4} \approx 13.352, \frac{17\pi}{4}
otin [2\pi;\frac{7\pi}{2}] \approx [6.283;10.996]

x = -\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{-\pi + 16\pi}{4} = \frac{15\pi}{4} \approx 11.781, \frac{15\pi}{4}
otin [2\pi;\frac{7\pi}{2}] \approx [6.283;10.996]

Ответ: x = \frac{9\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z,\frac{9\pi}{4}.