Решите уравнение: 10cos²x + 17cosx + 6 = 0

Для решения уравнения (10\cos^2{x} + 17\cos{x} + 6 = 0), мы можем сделать замену переменной. 1. Замена переменной: Пусть (t = \cos{x}). Тогда уравнение примет вид: \[10t^2 + 17t + 6 = 0\] 2. Решение квадратного уравнения: Это квадратное уравнение относительно (t). Найдем дискриминант (D) и корни (t_1) и (t_2). * Вычислим дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 17^2 - 4 cdot 10 cdot 6 = 289 - 240 = 49\] * Найдем корни: \[t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-17 + \sqrt{49}}{2 cdot 10} = \frac{-17 + 7}{20} = \frac{-10}{20} = -\frac{1}{2}\] \[t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-17 - \sqrt{49}}{2 cdot 10} = \frac{-17 - 7}{20} = \frac{-24}{20} = -\frac{6}{5}\] 3. Возврат к исходной переменной: Теперь вернемся к переменной (x). У нас есть два случая: * Случай 1: $$\cos{x} = t_1 = -\frac{1}{2}$$ \[\cos{x} = -\frac{1}{2}\] Решения этого уравнения: \[x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\] * Случай 2: $$\cos{x} = t_2 = -\frac{6}{5}$$ \[\cos{x} = -\frac{6}{5}\] Так как $$\left|-\frac{6}{5}\right| > 1$$, это уравнение не имеет решений, потому что значения косинуса всегда находятся в пределах от -1 до 1. 4. Итоговый ответ: Решением исходного уравнения являются только решения из первого случая: \[x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\] Ответ: $$\displaystyle x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$