Решите уравнение 6cos²x-7cosx-5=0

Решим тригонометрическое уравнение: $$6\cos^2 x - 7\cos x - 5 = 0$$

1. Сделаем замену переменной: $$t = \cos x$$. Тогда уравнение примет вид:

$$6t^2 - 7t - 5 = 0$$

2. Решим квадратное уравнение относительно t. Вычислим дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 49 + 120 = 169$$

3. Найдем корни квадратного уравнения:

$$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{7 + 13}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$$ $$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{7 - 13}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$$

4. Вернемся к исходной переменной и решим два тригонометрических уравнения:

$$\cos x = \frac{5}{3}$$

Так как $$|\cos x| \le 1$$, то уравнение $$\cos x = \frac{5}{3}$$ не имеет решений.

$$\cos x = -\frac{1}{2}$$

Решением этого уравнения является:

$$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Поскольку $$\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$$, получаем:

$$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

5. Запишем окончательный ответ.

Ответ: $$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$