Решите уравнение: cos²2x - sin²2x = 0,5

Решение:

Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) \). В данном уравнении \( \alpha = 2x \), следовательно, \( 2\alpha = 4x \).

Уравнение принимает вид:

\[ \cos(4x) = 0,5 \]\[ \cos(4x) = \frac{1}{2} \]

Общее решение уравнения \( \cos(y) = a \) имеет вид \( y = \pm \arccos(a) + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

В нашем случае \( y = 4x \) и \( a = \frac{1}{2} \). Арккосинус от \( \frac{1}{2} \) равен \( \frac{\pi}{3} \).

\[ 4x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы найти \( x \):

\[ x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{4} \]\[ x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Среди предложенных вариантов ответов ищем тот, который соответствует полученному решению.

Варианты:

• \( \frac{\pi}{12} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \)
• \( \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2}n, n \in \mathbb{Z} \)
• \( \pm \frac{\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \)
• \( -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2}n, n \in \mathbb{Z} \)
• \( \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2}n, n \in \mathbb{Z} \)

Полученное решение \( x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} \) совпадает с последним вариантом.

Ответ: \( \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2}n, n \in \mathbb{Z} \)