Решите уравнение: cos²2x - sin²2x = 0,5

Решение:

Данное уравнение представляет собой формулу косинуса двойного угла: \( \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha \).

Применяя эту формулу к нашему уравнению, получаем:

• \( \cos(2 \cdot 2x) = 0,5 \)
• \( \cos(4x) = 0,5 \)

Теперь найдём решения для \( 4x \). Косинус равен \( 0,5 \) в точках \( \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число (\( n \in \mathbb{Z} \)).

• \( 4x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \)
• \( 4x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \)

Разделим обе части каждого уравнения на 4:

• \( x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{4} = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} \)
• \( x = -\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{4} = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} \)

Объединяя эти два решения, получаем:

• \( x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} \)

Это соответствует варианту d.

Ответ: d. \( \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2}n, n \in \mathbb{Z} \)