Решите уравнение \(\cos t+\sqrt{3}\sin t=2\). Варианты: \(\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\); \(\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z\); \(\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z\); \(\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\).

Представим левую часть в виде косинуса суммы:

\(\cos t+\sqrt{3}\sin t=2\left(\frac{1}{2}\cos t+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin t\right)=2\cos\left(t-\frac{\pi}{3}\right)\).

Тогда \(2\cos\left(t-\frac{\pi}{3}\right)=2\), откуда \(\cos\left(t-\frac{\pi}{3}\right)=1\).

Косинус равен единице, когда его аргумент равен \(2\pi n\), где \(n\in\mathbb Z\):

\(t-\frac{\pi}{3}=2\pi n\), следовательно, \(t=\frac{\pi}{3}+2\pi n\).

Ответ: \(t=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\) (первый вариант).