13) 1) Решите уравнение cos 2x = 2sin² x. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0;6].

Question

Вопрос:

13) 1) Решите уравнение cos 2x = 2sin² x. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0;6].

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Ответ: 0; π; 2π

Краткое пояснение: Решаем тригонометрическое уравнение и находим корни, принадлежащие заданному отрезку.

Решение:

Шаг 1: Преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества.

Показать решение

cos 2x = 2sin² x cos 2x = -cos 2x + 1 (так как sin² x = (1 - cos 2x) / 2) 2cos 2x = 1 cos 2x = 1/2

Шаг 2: Найдём общее решение уравнения.

Показать решение

2x = ±arccos(1/2) + 2πn, n ∈ Z 2x = ±π/3 + 2πn, n ∈ Z x = ±π/6 + πn, n ∈ Z

Шаг 3: Определим корни, принадлежащие отрезку [0; 6].

Показать решение

x = π/6 + πn Если n = 0, то x = π/6 (≈ 0.52) ∈ [0; 6] Если n = 1, то x = π/6 + π = 7π/6 (≈ 3.67) ∈ [0; 6] Если n = 2, то x = π/6 + 2π = 13π/6 (≈ 6.81) ∉ [0; 6] x = -π/6 + πn Если n = 1, то x = -π/6 + π = 5π/6 (≈ 2.61) ∈ [0; 6] Если n = 2, то x = -π/6 + 2π = 11π/6 (≈ 5.75) ∈ [0; 6] Если n = 0, то x = -π/6 ∉ [0; 6] Если n = -1, то x = -π/6 -π ∉ [0; 6]

Шаг 4: Объединим корни, учитывая период функции.

Показать решение

Так как cos 2x = 1/2 имеет период π, то корни повторяются через π. Корни: π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6. Необходимо проверить, какие из этих корней принадлежат отрезку [0; 6].

Шаг 5: Учитываем, что cos 2x = 1 - 2sin²(x), тогда cos 2x = 2sin²(x) преобразуется в 1 - 2sin²(x) = 2sin²(x), откуда 4sin²(x) = 1, и sin²(x) = 1/4.

Показать решение

sin(x) = ±1/2 x = π/6 + πn, x = 5π/6 + πn, n ∈ Z Так как отрезок [0; 6], то подходит 0; π; 2π

Ответ: 0; π; 2π