Решите уравнение cos²x - sin(x + 0,5π) = 2.

Решение:

Данное уравнение:

\[ \cos^2 x - \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = 2 \]

Воспользуемся формулой приведения \( \sin \left( \alpha + \frac{\pi}{2} \right) = \cos \alpha \). Получим:

\[ \cos^2 x - \cos x = 2 \]

Перенесём все члены уравнения в левую часть:

\[ \cos^2 x - \cos x - 2 = 0 \]

Введём замену переменной \( y = \cos x \). Уравнение примет вид:

\[ y^2 - y - 2 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем дискриминант:

\[ D = \left( -1 \right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left( -2 \right) = 1 + 8 = 9 \]

Найдем корни \( y \):

\[ y_1 = \frac{-\left( -1 \right) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \]\[ y_2 = \frac{-\left( -1 \right) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = -1 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = \cos x \).

1. \( \cos x = 2 \)

Это уравнение не имеет решений, так как значение косинуса не может быть больше 1.

2. \( \cos x = -1 \)

Решением этого уравнения является \( x = \pi + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \) (целые числа).

Ответ: \( x = \pi + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} \).