Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика1) Решите уравнение 2cos2x - 5 cosx + 2 = 0. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−7π/2; -2π].
Ответ:
Решаем уравнение:
Смотри, тут всё просто: нужно решить тригонометрическое уравнение и найти корни, попадающие в заданный отрезок.
- Замена переменной:
Пусть \( t = cos(x) \). Тогда уравнение примет вид:
\[2t^2 - 5t + 2 = 0\]- Решение квадратного уравнения:
Вычисляем дискриминант:
\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9\]Находим корни:
\[t_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = 2\]\[t_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}\]- Возвращаемся к исходной переменной:
Так как \( cos(x) \) не может быть равен 2, остается только \( cos(x) = \frac{1}{2} \).
\[cos(x) = \frac{1}{2}\]- Находим общее решение:
Общее решение уравнения \( cos(x) = \frac{1}{2} \) имеет вид:
\[x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]Находим корни, принадлежащие отрезку:
Теперь нужно найти корни, которые принадлежат отрезку \( [-\frac{7\pi}{2}; -2\pi] \).
- Рассмотрим серию \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \):
Подставляем различные значения \( k \) и проверяем, попадают ли корни в заданный отрезок:
Для \( k = -1 \):
\[x = \frac{\pi}{3} + 2\pi (-1) = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3}\]Проверяем, принадлежит ли этот корень отрезку:
\[-\frac{7\pi}{2} \approx -10.99 \quad -\frac{5\pi}{3} \approx -5.24 \quad -2\pi \approx -6.28\]Корень \( -\frac{5\pi}{3} \) не принадлежит отрезку.
Для \( k = -2 \):
\[x = \frac{\pi}{3} + 2\pi (-2) = \frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{11\pi}{3}\]Проверяем, принадлежит ли этот корень отрезку:
\[-\frac{11\pi}{3} \approx -11.52\]Корень \( -\frac{11\pi}{3} \) не принадлежит отрезку.
- Рассмотрим серию \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \):
Подставляем различные значения \( k \) и проверяем, попадают ли корни в заданный отрезок:
Для \( k = -1 \):
\[x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi (-1) = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3}\]Проверяем, принадлежит ли этот корень отрезку:
\[-\frac{7\pi}{3} \approx -7.33\]Корень \( -\frac{7\pi}{3} \) принадлежит отрезку.
Для \( k = -2 \):
\[x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi (-2) = -\frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{13\pi}{3}\]Проверяем, принадлежит ли этот корень отрезку:
\[-\frac{13\pi}{3} \approx -13.61\]Корень \( -\frac{13\pi}{3} \) не принадлежит отрезку.
- Таким образом, корень \( -\frac{7\pi}{3} \) принадлежит отрезку \[\left[ -\frac{7\pi}{2}; -2\pi \right]\]
Ответ: 1) \(x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\) 2) \(x = -\frac{7\pi}{3}\)
