1) Решите уравнение 2cos2x + 3cosx - 2 = 0. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 2π; 7π 2

Решаем уравнение:

Для начала, давай преобразуем уравнение, используя тригонометрическое тождество: cos2x = 2cos²x - 1.

Тогда наше уравнение примет вид:

\[2(2\cos^2 x - 1) + 3\cos x - 2 = 0\]

Раскрываем скобки и упрощаем:

\[4\cos^2 x - 2 + 3\cos x - 2 = 0\] \[4\cos^2 x + 3\cos x - 4 = 0\]

Теперь сделаем замену: пусть t = cosx, тогда получим квадратное уравнение:

\[4t^2 + 3t - 4 = 0\]

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 9 + 64 = 73\] \[t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{73}}{8}\] \[t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{73}}{8}\]

Тогда,

\[\cos x = \frac{-3 + \sqrt{73}}{8}\] \[x = \pm \arccos\left(\frac{-3 + \sqrt{73}}{8}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]

Или

\[\cos x = \frac{-3 - \sqrt{73}}{8}\]

Так как \(\frac{-3 - \sqrt{73}}{8} < -1\), то корней нет.

Тогда, решением будет:

\[x = \pm \arccos\left(\frac{-3 + \sqrt{73}}{8}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]

Теперь ищем корни на отрезке \[\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]\]

Находим корни, принадлежащие отрезку:

При n = 0:

\[x = \pm \arccos\left(\frac{-3 + \sqrt{73}}{8}\right)\]

Оба корня не принадлежат отрезку \[\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]\]

При n = 1:

\[x = 2\pi \pm \arccos\left(\frac{-3 + \sqrt{73}}{8}\right)\]

Оба корня принадлежат отрезку \[\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]\]

При n = 2:

\[x = 4\pi \pm \arccos\left(\frac{-3 + \sqrt{73}}{8}\right)\]

Оба корня не принадлежат отрезку \[\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]\]

Ответ:

\[x = 2\pi + \arccos\left(\frac{-3 + \sqrt{73}}{8}\right)\] \[x = 2\pi - \arccos\left(\frac{-3 + \sqrt{73}}{8}\right)\]