Решите уравнение $\dfrac{13\sin^2 x-5\sin x}{13\cos x+12}=0$. Выберите все подходящие группы корней.

Question

Вопрос: $Фото задания: Решите уравнение $\dfrac{13\sin^2 x-5\sin x}{13\cos x+12}=0$. Выберите все подходящие группы корней.$ Фото задания

Accepted Answer

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Числитель раскладывается на множители: $\sin x(13\sin x-5)=0$. Поэтому возможны случаи:

$\sin x=0$, откуда $x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$. Здесь знаменатель равен $25$ при чётном $n$ и $-1$ при нечётном, то есть не равен нулю.
$\sin x=\dfrac{5}{13}$. Тогда возможные группы: $x=\arcsin\dfrac{5}{13}+2\pi k$ и $x=\pi-\arcsin\dfrac{5}{13}+2\pi k$, где $k\in\mathbb Z$. Во второй группе $\cos x=-\dfrac{12}{13}$, поэтому знаменатель равен нулю; эти значения исключаются. В первой группе $\cos x=\dfrac{12}{13}$, и знаменатель равен $25$.

Группа $x=\dfrac{\pi n}{2}$ не подходит: например, при нечётных $n$ синус равен $1$ или $-1$, и числитель не равен нулю.

Ответ: $x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$, и $x=\arcsin\dfrac{5}{13}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$.

Решите уравнение \(\dfrac{13\sin^2 x-5\sin x}{13\cos x+12}=0\). Выберите все подходящие группы корней.