Решите уравнение $$ \frac{1}{2} \cos(\frac{\pi}{3} - 2x) + \frac{1}{4} = 0 $$. Выберите все корни, принадлежащие промежутку $$(\frac{5\pi}{2}; 4\pi)$$.

Решение:

Для начала, преобразуем уравнение, чтобы выделить косинус:

• \[ \frac{1}{2} \cos(\frac{\pi}{3} - 2x) = -\frac{1}{4} \]
• \[ \cos(\frac{\pi}{3} - 2x) = -\frac{1}{2} \]

Теперь найдем общие решения для уравнения oz (x) = -\frac{1}{2} . Основные значения арккосинуса для -1/2 это \[ \frac{2\pi}{3} \text{ и } \frac{4\pi}{3} \]

Таким образом, получаем два случая:

1. \[ \frac{\pi}{3} - 2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
• \[ -2x = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n \]
• \[ -2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \]
• \[ x = -\frac{\pi}{6} - \pi n \]
2. \[ \frac{\pi}{3} - 2x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
• \[ -2x = -\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n \]
• \[ -2x = -\pi + 2\pi n \]
• \[ x = \frac{\pi}{2} - \pi n \]

Теперь нам нужно найти корни, принадлежащие промежутку $$(\frac{5\pi}{2}; 4\pi)$$ , то есть $$(2.5\pi; 4\pi)$$ .

Рассмотрим первый случай: $$x = -\frac{\pi}{6} - \pi n$$

• Если $$n = -3$$ , то $$x = -\frac{\pi}{6} - \pi(-3) = -\frac{\pi}{6} + 3\pi = \frac{17\pi}{6}$$ . $$ \frac{17\pi}{6} \approx 2.83\pi $$, что находится в промежутке $$(2.5\pi; 4\pi)$$ .
• Если $$n = -4$$ , то $$x = -\frac{\pi}{6} - \pi(-4) = -\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6}$$ . $$ \frac{23\pi}{6} \approx 3.83\pi $$, что находится в промежутке $$(2.5\pi; 4\pi)$$ .

Рассмотрим второй случай: $$x = \frac{\pi}{2} - \pi n$$

• Если $$n = -2$$ , то $$x = \frac{\pi}{2} - \pi(-2) = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$$ . Это значение не входит в открытый промежуток $$(\frac{5\pi}{2}; 4\pi)$$ .
• Если $$n = -3$$ , то $$x = \frac{\pi}{2} - \pi(-3) = \frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{7\pi}{2}$$ . $$ \frac{7\pi}{2} = 3.5\pi $$, что находится в промежутке $$(2.5\pi; 4\pi)$$ .
• Если $$n = -4$$ , то $$x = \frac{\pi}{2} - \pi(-4) = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2}$$ . $$ \frac{9\pi}{2} = 4.5\pi $$, что больше $$4\pi$$ , поэтому не входит в промежуток.

Мы нашли три корня, принадлежащие заданному промежутку: $$ \frac{17\pi}{6} $$, $$ \frac{23\pi}{6} $$, $$ \frac{7\pi}{2} $$.

Ответ:

• $$ \frac{17\pi}{6} $$
• $$ \frac{23\pi}{6} $$
• $$ \frac{7\pi}{2} $$