Решите уравнение: \( \frac{1}{2x-7} + \frac{1}{x-3} = 2 \). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Решение:

Чтобы решить дробно-рациональное уравнение, приведём его к виду, где все члены уравнения находятся в одной части, а другая часть равна нулю. Для этого вычтем 2 из обеих частей уравнения:

\[ \frac{1}{2x-7} + \frac{1}{x-3} - 2 = 0 \]

Теперь приведём все члены к общему знаменателю \( (2x-7)(x-3) \):

\[ \frac{1(x-3)}{(2x-7)(x-3)} + \frac{1(2x-7)}{(2x-7)(x-3)} - \frac{2(2x-7)(x-3)}{(2x-7)(x-3)} = 0 \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ \frac{x-3 + 2x-7 - 2(2x^2 - 6x - 7x + 21)}{(2x-7)(x-3)} = 0 \]

Упростим выражение:

\[ \frac{3x-10 - 2(2x^2 - 13x + 21)}{(2x-7)(x-3)} = 0 \]

Продолжим упрощение:

\[ \frac{3x-10 - 4x^2 + 26x - 42}{(2x-7)(x-3)} = 0 \]

Объединим подобные члены в числителе:

\[ \frac{-4x^2 + 29x - 52}{(2x-7)(x-3)} = 0 \]

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Сначала найдём корни числителя, приравняв его к нулю:

\[ -4x^2 + 29x - 52 = 0 \]

Умножим на -1 для удобства:

\[ 4x^2 - 29x + 52 = 0 \]

Теперь найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-29)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 52 = 841 - 16 \cdot 52 = 841 - 832 = 9 \]

Найдём корни квадратного уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{29 + 3}{8} = \frac{32}{8} = 4 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{29 - 3}{8} = \frac{26}{8} = \frac{13}{4} = 3.25 \]

Теперь проверим, не обращают ли эти корни знаменатель в ноль. Знаменатель равен нулю, если \( 2x-7 = 0 \) или \( x-3 = 0 \).

Если \( 2x-7 = 0 \), то \( 2x = 7 \), \( x = 3.5 \).

Если \( x-3 = 0 \), то \( x = 3 \).

Так как \( x=4 \) и \( x=3.25 \) не равны \( 3.5 \) или \( 3 \), оба корня являются решениями уравнения.

В условии сказано: «Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них».

Сравним корни: \( 4 \) и \( 3.25 \). Меньший корень — \( 3.25 \).

Ответ: 3.25