Решите уравнение \(\(\frac{1}{7}\) x^2 - x + 1\(\frac{5}{7}\) = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Решение:

1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: \( 1\frac{5}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{12}{7} \).
2. Исходное уравнение примет вид: \[ \frac{1}{7} x^2 - x + \frac{12}{7} = 0 \]
3. Умножим всё уравнение на 7, чтобы избавиться от дробей: \( x^2 - 7x + 12 = 0 \)
4. Найдём дискриминант квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) по формуле \( D = b^2 - 4ac \). В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -7 \), \( c = 12 \).
5. \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \)
6. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня.
7. Найдём корни по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \): \[ x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
8. Сравним корни и выберем меньший: \( 3 < 4 \).

Ответ: 3