Решите уравнение $$\frac{1}{(x-1)^2} + \frac{2}{x-1} - 3 = 0.$$

Задание 20: Решение уравнения

Для решения этого уравнения, заметим, что оно является квадратным относительно выражения $$\frac{1}{x-1}$$.

Пусть $$y = \frac{1}{x-1}$$. Тогда уравнение примет вид:

• $$y^2 + 2y - 3 = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или разложение на множители.

Разложение на множители:

• $$(y+3)(y-1) = 0$$

Отсюда получаем два возможных значения для $$y$$:

• $$y+3 = 0 \implies y = -3$$
• $$y-1 = 0 \implies y = 1$$

Теперь вернемся к нашей замене $$y = \frac{1}{x-1}$$ и найдем значения $$x$$.

Случай 1: $$y = -3$$

• $$\frac{1}{x-1} = -3$$
• $$1 = -3(x-1)$$
• $$1 = -3x + 3$$
• $$3x = 3 - 1$$
• $$3x = 2$$
• $$x = \frac{2}{3}$$

Случай 2: $$y = 1$$

• $$\frac{1}{x-1} = 1$$
• $$1 = x-1$$
• $$x = 1 + 1$$
• $$x = 2$$

Проверка:

Перед тем, как окончательно ответить, нужно убедиться, что знаменатель $$(x-1)$$ не равен нулю. В нашем случае $$x = \frac{2}{3}$$ и $$x = 2$$ не делают знаменатель равным нулю.

Ответ: $$x = \frac{2}{3}$$ и $$x = 2$$.