Решите уравнение \( \frac{1}{(x-2)^2} - \frac{1}{x-2} - 6 = 0 \).

Решение:

Сделаем замену переменной. Пусть \( y = \frac{1}{x-2} \). Тогда \( y^2 = (\frac{1}{x-2})^2 = \frac{1}{(x-2)^2} \).

Уравнение примет вид:

\( y^2 - y - 6 = 0 \)

Это квадратное уравнение относительно \( y \). Решим его с помощью дискриминанта:

\( D = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \)

\( \sqrt{D} = 5 \)

Найдем корни для \( y \):

\( y_1 = \frac{1 + 5}{2(1)} = \frac{6}{2} = 3 \)

\( y_2 = \frac{1 - 5}{2(1)} = \frac{-4}{2} = -2 \)

Теперь вернёмся к переменной \( x \).

Случай 1: \( y_1 = 3 \)

\( \frac{1}{x-2} = 3 \)

\( 1 = 3(x-2) \)

\( 1 = 3x - 6 \)

\( 3x = 7 \)

\( x = \frac{7}{3} \)

Случай 2: \( y_2 = -2 \)

\( \frac{1}{x-2} = -2 \)

\( 1 = -2(x-2) \)

\( 1 = -2x + 4 \)

\( 2x = 3 \)

\( x = \frac{3}{2} \)

Необходимо учесть, что \( x \neq 2 \) (знаменатель не должен быть равен нулю). Оба полученных корня \( \frac{7}{3} \) и \( \frac{3}{2} \) не равны 2.

Ответ: \( x_1 = \frac{7}{3}, x_2 = \frac{3}{2} \).