Решите уравнение: \[ \frac{1}{x^2 - 2x + 1} + \frac{3}{x^2 - 2x - 7} + \frac{1}{2} = 0 \] Введите только необходимое количество различных корней, последние поля ввода оставьте пустыми, если потребуется.

Решение:

Для решения данного уравнения, сначала приведем его к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель первой дроби \( x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 \).

Пусть \( y = x^2 - 2x \). Тогда уравнение примет вид:

\[
\frac{1}{(x-1)^2} + \frac{3}{y - 7} + \frac{1}{2} = 0
\]

Это не самый простой способ. Перейдем к общему знаменателю.

ОДЗ: \( x \neq 1 \), \( x^2 - 2x - 7 \neq 0 \). Найдем корни \( x^2 - 2x - 7 = 0 \) через дискриминант: \( D = (-2)^2 - 4(1)(-7) = 4 + 28 = 32 \). \( x = \frac{2 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 1 \pm 2\sqrt{2} \). Таким образом, \( x \neq 1, x \neq 1 + 2\sqrt{2}, x \neq 1 - 2\sqrt{2} \).

Умножим обе части уравнения на \( 2(x-1)^2 (x^2 - 2x - 7) \):

\[
2(x^2 - 2x - 7) + 6(x-1)^2 + (x-1)^2 (x^2 - 2x - 7) = 0
\]

Раскроем скобки и упростим:

\[
2x^2 - 4x - 14 + 6(x^2 - 2x + 1) + (x^2 - 2x + 1)(x^2 - 2x - 7) = 0
\]
\[
2x^2 - 4x - 14 + 6x^2 - 12x + 6 + (x^2 - 2x)^2 - 7(x^2 - 2x) + (x^2 - 2x) - 7 = 0
\]
\[
8x^2 - 16x - 8 + (x^4 - 4x^3 + 4x^2) - 7x^2 + 14x + x^2 - 2x - 7 = 0
\]
\[
x^4 - 4x^3 + (4 - 7 + 1)x^2 + (8 - 16 - 2)x + (-8 - 7) = 0
\]
\[
x^4 - 4x^3 - 2x^2 - 10x - 15 = 0
\]

Это уравнение четвертой степени. Попробуем найти целочисленные корни среди делителей свободного члена \(-15\): \(\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15\).

Проверим \( x = 3 \): \( 3^4 - 4(3^3) - 2(3^2) - 10(3) - 15 = 81 - 4(27) - 2(9) - 30 - 15 = 81 - 108 - 18 - 30 - 15 = 81 - 171 = -90 \neq 0 \).

Проверим \( x = -1 \): \( (-1)^4 - 4(-1)^3 - 2(-1)^2 - 10(-1) - 15 = 1 - 4(-1) - 2(1) + 10 - 15 = 1 + 4 - 2 + 10 - 15 = 15 - 17 = -2 \neq 0 \).

Проверим \( x = 5 \): \( 5^4 - 4(5^3) - 2(5^2) - 10(5) - 15 = 625 - 4(125) - 2(25) - 50 - 15 = 625 - 500 - 50 - 50 - 15 = 625 - 615 = 10 \neq 0 \).

Проверим \( x = -3 \): \( (-3)^4 - 4(-3)^3 - 2(-3)^2 - 10(-3) - 15 = 81 - 4(-27) - 2(9) + 30 - 15 = 81 + 108 - 18 + 30 - 15 = 219 - 33 = 186 \neq 0 \).

Возможно, есть ошибка в приведении к общему знаменателю или раскрытии скобок.

Попробуем другую замену: \( t = x^2 - 2x \).

\[
\frac{1}{(x-1)^2} + \frac{3}{t - 7} + \frac{1}{2} = 0
\]

\( (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1 = t + 1 \).

\[
\frac{1}{t+1} + \frac{3}{t-7} + \frac{1}{2} = 0
\]

Приведем к общему знаменателю \( 2(t+1)(t-7) \):

\[
2(t-7) + 6(t+1) + (t+1)(t-7) = 0
\]
\[
2t - 14 + 6t + 6 + t^2 - 7t + t - 7 = 0
\]
\[
t^2 + (2+6-7+1)t + (-14+6-7) = 0
\]
\[
t^2 + 2t - 15 = 0
\]

Решим квадратное уравнение относительно \( t \):

\( D = 2^2 - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64 \).

\( t_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 + 8}{2} = 3 \).

\( t_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 - 8}{2} = -5 \).

Теперь вернемся к замене \( t = x^2 - 2x \).

Случай 1: \( t = 3 \)

\[
x^2 - 2x = 3
\]
\[
x^2 - 2x - 3 = 0
\]

\( D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \).

\( x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \).

\( x_1 = \frac{2+4}{2} = 3 \).

\( x_2 = \frac{2-4}{2} = -1 \).

Случай 2: \( t = -5 \)

\[
x^2 - 2x = -5
\]
\[
x^2 - 2x + 5 = 0
\]

\( D = (-2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 \).

Дискриминант отрицательный, значит, действительных корней в этом случае нет.

Проверим найденные корни \( x=3 \) и \( x=-1 \) на соответствие ОДЗ.

\( x = 3 \): \( 3 \neq 1 \), \( 3^2 - 2(3) - 7 = 9 - 6 - 7 = -4 \neq 0 \). Корень подходит.

\( x = -1 \): \( -1 \neq 1 \), \( (-1)^2 - 2(-1) - 7 = 1 + 2 - 7 = -4 \neq 0 \). Корень подходит.

Таким образом, уравнение имеет два различных действительных корня.

Ответ: x₁ = 3, x₂ = -1.