Решите уравнение: \(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} - 6 = 0\)

Решение:

Это дробно-рациональное уравнение. Чтобы его решить, приведём к общему знаменателю и избавимся от дробей.

1. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \( x^2 \). При этом нужно учесть, что \( x \neq 0 \).
2. \( x^2 \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} - 6 \right) = x^2 \cdot 0 \)
3. \( 1 - x - 6x^2 = 0 \)
4. Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения: \( -6x^2 - x + 1 = 0 \)
5. Умножим на -1, чтобы старший коэффициент стал положительным: \( 6x^2 + x - 1 = 0 \)
6. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25 \)
7. Найдем корни уравнения: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \)
8. \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} \)
9. Оба корня \( \frac{1}{3} \) и \( -\frac{1}{2} \) не равны нулю, поэтому являются решениями исходного уравнения.

Ответ: \( x_1 = \frac{1}{3}, x_2 = -\frac{1}{2} \).