Решите уравнение: \(\frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} - 3 = 0\)

Решение:

Данное уравнение является дробно-рациональным. Чтобы его решить, приведём все члены к общему знаменателю \( x^2 \).

1. Умножим все члены уравнения на \( x^2 \), учитывая, что \( x \neq 0 \):
   \( x^2 \left( \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} - 3 \right) = x^2 \cdot 0 \)
2. Раскроем скобки:
   \( 1 + 2x - 3x^2 = 0 \)
3. Приведём уравнение к стандартному виду квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
   \( -3x^2 + 2x + 1 = 0 \)
   Умножим на -1 для удобства:
   \( 3x^2 - 2x - 1 = 0 \)
4. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \)
   \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 \)
5. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня. Найдём их:
   \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1 \)
   \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \)
6. Проверим, что полученные корни не равны нулю. Оба корня \( 1 \) и \( -\frac{1}{3} \) не равны нулю, поэтому они являются решениями исходного уравнения.

Уравнение имеет два корня: \( 1 \) и \( -\frac{1}{3} \). Больший из корней — \( 1 \).

Ответ: 1