Решите уравнение \(\frac{1}{x^2} - \frac{3}{x} - 4 = 0\).

Решение:

Это дробно-рациональное уравнение. Чтобы его решить, приведём к общему знаменателю.

1. Пусть \( y = \frac{1}{x} \). Тогда \( y^2 = \frac{1}{x^2} \).
2. Подставим \( y \) в уравнение: \( y^2 - 3y - 4 = 0 \).
3. Решим полученное квадратное уравнение относительно \( y \). Найдём дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]
4. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня: \[ y_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ y_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
5. Теперь вернёмся к \( x \).
• Если \( y_1 = 4 \), то \( \frac{1}{x} = 4 \). Отсюда \( x = \frac{1}{4} \).
• Если \( y_2 = -1 \), то \( \frac{1}{x} = -1 \). Отсюда \( x = -1 \).
6. Проверим, не равны ли знаменатели нулю. \( x = \frac{1}{4} \) и \( x = -1 \) не равны нулю, значит, оба корня подходят.

Ответ: x = \(\frac{1}{4}\), x = -1.