Решите уравнение: \(\frac{1}{x-2} = \frac{x}{x+4}\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Решение уравнения:

Данное уравнение является дробно-рациональным. Для его решения приведем обе части к общему знаменателю.

1. Перемножим крест-накрест:
   $$1 \cdot (x+4) = x \cdot (x-2)$$
2. Раскроем скобки:
   $$x + 4 = x^2 - 2x$$
3. Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
   $$x^2 - 2x - x - 4 = 0$$
   $$x^2 - 3x - 4 = 0$$
4. Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Воспользуемся дискриминантом:
   $$D = b^2 - 4ac$$
   $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$
5. Найдем корни уравнения:
   $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$$
   $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$
6. Проверка ОДЗ (области допустимых значений):
   Знаменатели не должны быть равны нулю:
   $$x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$$
   $$x+4 \neq 0 \implies x \neq -4$$
   Полученные корни ($$4$$ и $$-1$$) не равны $$2$$ и $$-4$$, значит, оба корня являются допустимыми.
7. Выбор меньшего корня:
   Сравниваем $$4$$ и $$-1$$. Меньшим является $$-1$$.

Ответ: -1