Решите уравнение: \(\frac{1}{x^2+x-2} + \frac{7}{x^2+x-20} + \frac{1}{4} = 0\). Введите только необходимое количество различных корней, последние поля ввода оставьте пустыми, если потребуется.

Решение:

Для решения данного уравнения введем замену переменной. Пусть \(y = x^2+x\).

Тогда уравнение примет вид:

• \[ \frac{1}{y-2} + \frac{7}{y-20} + \frac{1}{4} = 0 \]

Приведем к общему знаменателю:

• \[ \frac{4(y-20) + 4 · 7 + (y-2)(y-20)}{4(y-2)(y-20)} = 0 \]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

• \[ 4y - 80 + 28 + y^2 - 20y - 2y + 40 = 0 \]
• \[ y^2 - 18y - 12 = 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения для \(y\) с помощью дискриминанта:

• \[ D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 · 1 · (-12) = 324 + 48 = 372 \]
• \[ \sqrt{D} = \sqrt{372} = \sqrt{4 · 93} = 2\sqrt{93} \]
• \[ y_1 = \frac{18 + 2\sqrt{93}}{2} = 9 + \sqrt{93} \]
• \[ y_2 = \frac{18 - 2\sqrt{93}}{2} = 9 - \sqrt{93} \]

Теперь вернемся к замене \(y = x^2+x\).

Случай 1: \(x^2+x = 9 + \sqrt{93}\)

• \[ x^2 + x - (9 + \sqrt{93}) = 0 \]
• Найдем дискриминант: \(D = 1^2 - 4 · 1 · -(9 + \sqrt{93}) = 1 + 36 + 4\sqrt{93} = 37 + 4\sqrt{93}\)
• Так как \(37 + 4\sqrt{93} > 0\), то есть два действительных корня.

Случай 2: \(x^2+x = 9 - \sqrt{93}\)

• \[ x^2 + x - (9 - \sqrt{93}) = 0 \]
• Найдем дискриминант: \(D = 1^2 - 4 · 1 · -(9 - \sqrt{93}) = 1 + 36 - 4\sqrt{93} = 37 - 4\sqrt{93}\)
• Оценим значение \(4\sqrt{93}\): \(\sqrt{93}\) находится между \(√81=9\) и \(√100=10\). Возьмем примерно 9.6. Тогда \(4\sqrt{93} ≈ 4 · 9.6 = 38.4\).
• Следовательно, \(37 - 4\sqrt{93} < 0\). В этом случае действительных корней нет.

Таким образом, уравнение имеет два различных действительных корня, соответствующие случаю 1.