Решите уравнение $$\frac{1}{(x-3)^2} - \frac{3}{x-3} - 4 = 0$$

Решение:

Для решения уравнения введём замену переменной. Пусть \( y = \frac{1}{x-3} \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 3y - 4 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \).

1. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \).
2. Найдём корни \( y \):
• \( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2} = 4 \)
• \( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2} = -1 \)

Теперь вернёмся к исходной переменной \( x \).

Случай 1: \( y = 4 \)

\[ \frac{1}{x-3} = 4 \]

Умножим обе части на \( x-3 \) (при условии, что \( x \neq 3 \)):

\[ 1 = 4(x-3) \]

\[ 1 = 4x - 12 \]

\[ 4x = 13 \]

\[ x = \frac{13}{4} \]

Случай 2: \( y = -1 \)

\[ \frac{1}{x-3} = -1 \]

Умножим обе части на \( x-3 \) (при условии, что \( x \neq 3 \)):

\[ 1 = -(x-3) \]

\[ 1 = -x + 3 \]

\[ x = 3 - 1 \]

\[ x = 2 \]

Проверим, что оба корня не равны 3.

\( \frac{13}{4} \neq 3 \) и \( 2 \neq 3 \).

Ответ: x₁ = \( \frac{13}{4} \), x₂ = 2.