Решите уравнение: \(\frac{1}{x-5}+\frac{3}{x+1}=\frac{x^2-2x-21}{x^2-4x-5}\).

ОДЗ: знаменатели не должны обращаться в ноль:

\(x-5\ne0\), \(x+1\ne0\), поэтому \(x\ne5\), \(x\ne-1\).

Разложим знаменатель правой части на множители:

\[x^2-4x-5=(x-5)(x+1).\]

Приведём левую часть к общему знаменателю:

\[\frac{1}{x-5}+\frac{3}{x+1}=\frac{x+1+3(x-5)}{(x-5)(x+1)}=\frac{4x-14}{(x-5)(x+1)}.\]

Тогда:

\[\frac{4x-14}{(x-5)(x+1)}=\frac{x^2-2x-21}{(x-5)(x+1)}.\]

Так как \(x\ne5\) и \(x\ne-1\), приравниваем числители:

\[4x-14=x^2-2x-21.\]

Перенесём всё в левую часть:

\[x^2-6x-7=0.\]

Разложим на множители:

\[(x-7)(x+1)=0.\]

Отсюда \(x=7\) или \(x=-1\). Значение \(x=-1\) не входит в ОДЗ.

Ответ: \(x=7\).