Решите уравнение: \(\frac{14}{x^2-2x} - \frac{21}{x^2+2x} = \frac{5}{x}\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Решение:

1. Приведем дроби к общему знаменателю:
   Общий знаменатель для х²-2х, х²+2х и х — это х(х²-4) = х(х-2)(х+2).
2. Преобразуем уравнение:
   \[ \frac{14 х (х+2)}{х(х-2)(х+2)} - \frac{21 х (х-2)}{х(х+2)(х-2)} = \frac{5 (х-2)(х+2)}{х(х-2)(х+2)} \]
   \[ \frac{14х² + 28х - (21х² - 42х)}{ х(х^2-4)} = \frac{5(х^2-4)}{х(х^2-4)} \]
3. Упростим числитель:
   \[ 14х² + 28х - 21х² + 42х = 5х² - 20 \]
   \[ -7х² + 70х = 5х² - 20 \]
4. Перенесем все члены в одну сторону:
   \[ 12х² - 70х - 20 = 0 \]
5. Разделим на 2:
   \[ 6х² - 35х - 10 = 0 \]
6. Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:
   \[ D = b^2 - 4ac = (-35)^2 - 4 · 6 · (-10) = 1225 + 240 = 1465 \]
   \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{35 - \sqrt{1465}}{12} \]
   \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{35 + \sqrt{1465}}{12} \]
7. Проверим ОДЗ: Знаменатели не должны быть равны нулю. х ≠ 0, х ≠ 2, х ≠ -2. Оба найденных корня не равны 0, 2 или -2.
8. Выберем больший корень:
   √1465 ≈ 38.28.
9. х_1 ≈ rac{35 - 38.28}{12} ≈ -0.27 \]
10. х_2 ≈ rac{35 + 38.28}{12} ≈ rac{73.28}{12} ≈ 6.11 \]
11. Следовательно, больший корень: х = 2.

Ответ: rac{35 + √1465}{12}