Решите уравнение: \(\frac{2}{x-5} + \frac{3x}{x+3} = \frac{2}{(x-5)(x+3)}\)

Решение:

Для решения уравнения приведём все дроби к общему знаменателю \( (x-5)(x+3) \).

1. Ограничения: \( x \neq 5 \) и \( x \neq -3 \).
2. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \( (x-5)(x+3) \): \( 2(x+3) + 3x(x-5) = 2 \)
3. Раскроем скобки: \( 2x + 6 + 3x^2 - 15x = 2 \)
4. Приведём подобные члены и перенесём все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( 3x^2 + (2x - 15x) + (6 - 2) = 0 \) \( 3x^2 - 13x + 4 = 0 \)
5. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \) \( D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 169 - 48 = 121 \)
6. Найдём корни уравнения: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \) \( x_1 = \frac{13 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 11}{6} = \frac{24}{6} = 4 \) \( x_2 = \frac{13 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 11}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
7. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ограничениям. Оба корня \( 4 \) и \( \frac{1}{3} \) не равны \( 5 \) и \( -3 \), поэтому являются решениями уравнения.

Ответ: \( 4; \frac{1}{3} \).