Решите уравнение \(\frac{24x}{x^2 + 23} = 1\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение:

Дано уравнение: \(\frac{24x}{x^2 + 23} = 1\).

Чтобы решить уравнение, сначала приведём его к общему знаменателю. Умножим обе части уравнения на \(x^2 + 23\), при условии, что \(x^2 + 23 \neq 0\). Так как \(x^2 \geq 0\), то \(x^2 + 23 \geq 23 \neq 0\) для любого действительного \(x\).

\(24x = 1 \cdot (x^2 + 23)\)

\(24x = x^2 + 23\)

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\(x^2 - 24x + 23 = 0\)

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать формулу дискриминанта или теорему Виета.

Способ 1: Через дискриминант

Коэффициенты уравнения: \(a = 1\), \(b = -24\), \(c = 23\).

Дискриминант \(D\) находится по формуле \(D = b^2 - 4ac\):

\[ D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 23 = 576 - 92 = 484 \]\[ \sqrt{D} = \sqrt{484} = 22 \]
The handwritten calculation in the image: \(D=b^2-4ac\), \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), \(29\) (likely a typo or unrelated calculation)

Корни квадратного уравнения находятся по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\):

\[ x_1 = \frac{-(-24) + 22}{2 \cdot 1} = \frac{24 + 22}{2} = \frac{46}{2} = 23 \]\[ x_2 = \frac{-(-24) - 22}{2 \cdot 1} = \frac{24 - 22}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
The handwritten answer is '1.' which matches one of the roots.

Способ 2: Через теорему Виета

Для уравнения \(x^2 - 24x + 23 = 0\), сумма корней \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-24}{1} = 24\), а произведение корней \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{23}{1} = 23\).

Легко подобрать два числа, которые в сумме дают 24, а в произведении 23. Это числа 1 и 23.

\(1 + 23 = 24\)

\(1 \cdot 23 = 23\)

Значит, корни уравнения: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 23\).

Условие задачи требует записать в ответе меньший из корней, если их более одного. Так как у нас два корня (1 и 23), меньший из них — 1.

Ответ: 1.