Решите уравнение: \(\frac{26 \cos^2 x - 23 \cos x + 5}{13 \sin x - 12} = 0\). Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\]\).

Решение:

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Приравняем числитель к нулю:

\( 26 \cos^2 x - 23 \cos x + 5 = 0 \)

Сделаем замену \( y = \cos x \). Получим квадратное уравнение:

\( 26y^2 - 23y + 5 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\[ D = (-23)^2 - 4 \cdot 26 \cdot 5 = 529 - 520 = 9 \]

Найдем корни:

\[ y_1 = \frac{23 + \sqrt{9}}{2 \cdot 26} = \frac{23 + 3}{52} = \frac{26}{52} = \frac{1}{2} \]

\[ y_2 = \frac{23 - \sqrt{9}}{2 \cdot 26} = \frac{23 - 3}{52} = \frac{20}{52} = \frac{5}{13} \]

Возвращаясь к замене:

\( \cos x = \frac{1}{2} \) или \( \cos x = \frac{5}{13} \)

2. Приравняем знаменатель к нулю, чтобы исключить посторонние корни:

\( 13 \sin x - 12 \neq 0 \) \( \Rightarrow \) \( \sin x \neq \frac{12}{13} \)

3. Решим уравнение \( \cos x = \frac{1}{2} \) на промежутке \(\[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\]\).

Общие решения: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Подставим \( k = -1 \):

\( x_1 = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3} \)

\( x_2 = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3} \)

Проверим, принадлежат ли эти корни промежутку \(\[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\]\).

\( -2.5\pi \le -\frac{5\pi}{3} \le -1\pi \)

\( -2.5\pi \le -1.66...\pi \le -1\pi \) — верно.

\( -2.5\pi \le -\frac{7\pi}{3} \le -1\pi \)

\( -2.5\pi \le -2.33...\pi \le -1\pi \) — верно.

Теперь проверим условие \( \sin x \neq \frac{12}{13} \) для найденных корней.

Для \( x = -\frac{5\pi}{3} \): \( \sin(-\frac{5\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \neq \frac{12}{13} \). Этот корень подходит.

Для \( x = -\frac{7\pi}{3} \): \( \sin(-\frac{7\pi}{3}) = \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \neq \frac{12}{13} \). Этот корень подходит.

4. Решим уравнение \( \cos x = \frac{5}{13} \) на промежутке \(\[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\]\).

Пусть \( \alpha = \arccos(\frac{5}{13}) \). Тогда \( x = \pm \alpha + 2\pi k \).

Подставим \( k = -1 \):

\( x_3 = \alpha - 2\pi \)

\( x_4 = -\alpha - 2\pi \)

Так как \( 0 < \frac{5}{13} < 1 \), то \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \). Следовательно, \( \frac{5\pi}{2} < \alpha + 2\pi < 3\pi \) и \( \frac{3\pi}{2} < 2\pi - \alpha < 3\pi \). Это не попадает в нужный интервал.

Рассмотрим \( x_4 = -\alpha - 2\pi \). Так как \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), то \( -\frac{\pi}{2} < -\alpha < 0 \). Тогда \( -2\pi - \frac{\pi}{2} < -\alpha - 2\pi < -2\pi \), то есть \( -2.5\pi < x_4 < -2\pi \). Этот корень подходит.

Проверим условие \( \sin x \neq \frac{12}{13} \) для \( x = -\alpha - 2\pi \). \( \sin(- \alpha - 2\pi) = \sin(-\alpha) = -\sin \alpha \).

Так как \( \cos \alpha = \frac{5}{13} \) и \( \alpha \) в первой четверти, то \( \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} \).

Следовательно, \( \sin x = -\frac{12}{13} \). Это не равно \( \frac{12}{13} \), поэтому корень подходит.

Таким образом, корни уравнения в заданном промежутке: \( -\frac{5\pi}{3} \), \( -\frac{7\pi}{3} \), \( -2\pi - \arccos(\frac{5}{13}) \).

Ответ: \(-\frac{7\pi}{3}; -\frac{5\pi}{3}; -2\pi - \arccos\left(\frac{5}{13}\right)\).