Решите уравнение: \(\frac{2x - 9}{x - 3} - \frac{x - 1}{x + 3} = 0\).

Решение:

Чтобы решить данное уравнение, приведём дроби к общему знаменателю \( (x - 3)(x + 3) \).

1. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на \( x + 3 \):
   \(\frac{(2x - 9)(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)}\)
2. Умножим числитель и знаменатель второй дроби на \( x - 3 \):
   \(\frac{(x - 1)(x - 3)}{(x + 3)(x - 3)}\)
3. Запишем уравнение с общим знаменателем: \(\frac{(2x - 9)(x + 3) - (x - 1)(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = 0\)
4. Раскроем скобки в числителе: \( (2x^2 + 6x - 9x - 27) - (x^2 - 3x - x + 3) \)
5. Упростим выражение в числителе: \( 2x^2 - 3x - 27 - (x^2 - 4x + 3) \)
6. \( 2x^2 - 3x - 27 - x^2 + 4x - 3 \)
7. \( x^2 + x - 30 = 0 \)
8. Это квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-30) = 1 + 120 = 121 \)
9. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня: \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 11}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) и \( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 11}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \).
10. Важно проверить, что найденные корни не обращают знаменатель в ноль. Знаменатель равен \( (x - 3)(x + 3) \). Если \( x = 3 \) или \( x = -3 \), знаменатель будет равен нулю.
11. Наши корни \( x = 5 \) и \( x = -6 \) не равны \( 3 \) или \( -3 \), значит, они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: x₁ = 5, x₂ = -6.