Решите уравнение: \(\frac{2x + 9}{x + 4} - \frac{x + 5}{x + 8} = \frac{12x + 64}{x^2 + 12x + 32}\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Решение:

1. Преобразуем знаменатель правой части:\[ x^2 + 12x + 32 = (x+4)(x+8) \]
2. Приведем дроби к общему знаменателю (x+4)(x+8):\[ \frac{(2x+9)(x+8)}{(x+4)(x+8)} - \frac{(x+5)(x+4)}{(x+4)(x+8)} = \frac{12x+64}{(x+4)(x+8)} \]
3. Раскроем скобки в числителях:\[ \frac{2x^2 + 16x + 9x + 72}{(x+4)(x+8)} - \frac{x^2 + 4x + 5x + 20}{(x+4)(x+8)} = \frac{12x+64}{(x+4)(x+8)} \]\[ \frac{2x^2 + 25x + 72}{(x+4)(x+8)} - \frac{x^2 + 9x + 20}{(x+4)(x+8)} = \frac{12x+64}{(x+4)(x+8)} \]
4. Объединим дроби и перенесем все в левую часть:\[ \frac{(2x^2 + 25x + 72) - (x^2 + 9x + 20) - (12x+64)}{(x+4)(x+8)} = 0 \]\[ \frac{2x^2 + 25x + 72 - x^2 - 9x - 20 - 12x - 64}{(x+4)(x+8)} = 0 \]\[ \frac{x^2 + 4x - 12}{(x+4)(x+8)} = 0 \]
5. Найдем корни числителя, приравнивая его к нулю:\[ x^2 + 4x - 12 = 0 \]Дискриминант:\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-12) = 16 + 48 = 64 \]Корни:\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{-4 \pm 8}{2} \]
   • \[ x_1 = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]
   • \[ x_2 = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \]
6. Проверим, не обращают ли корни знаменатель в ноль:\[ (x+4)(x+8) \]
   • При = 2: (2+4)(2+8) = 6 \cdot 10 = 60
     eq 0
   • При = -6: (-6+4)(-6+8) = -2 \cdot 2 = -4
     eq 0
7. Так как уравнение имеет два корня 2 и -6, по условию задачи нужно указать больший из них.

Ответ: 2