Решите уравнение: \(\frac{4}{9y^{2}-1} - \frac{4}{3y+1} = \frac{5}{1-3y}\)

Решение:

1. Приведем дроби к общему знаменателю.

   Знаменатель первой дроби: \(9y^2 - 1 = (3y-1)(3y+1)\).

   Знаменатель второй дроби: \(3y+1\).

   Знаменатель третьей дроби: \(1-3y = -(3y-1)\).

   Общий знаменатель: \((3y-1)(3y+1)\).

2. Перепишем уравнение с общим знаменателем:

   \(\frac{4}{(3y-1)(3y+1)} - \frac{4(3y-1)}{(3y-1)(3y+1)} = \frac{-5(3y+1)}{(3y-1)(3y+1)}\)

3. Умножим обе части на общий знаменатель (при условии, что \(3y-1
   eq 0\) и \(3y+1
   eq 0\), т.е. \(y
   eq \frac{1}{3}\) и \(y
   eq -\frac{1}{3}\)):

   \(4 - 4(3y-1) = -5(3y+1)\)

4. Раскроем скобки и упростим:

   \(4 - 12y + 4 = -15y - 5\)

   \(8 - 12y = -15y - 5\)

5. Соберем члены с \(y\) в одной части, а числа — в другой:

   \(-12y + 15y = -5 - 8\)

   \(3y = -13\)

6. Найдем \(y\):

   \(y = -\frac{13}{3}\)

7. Проверим, не равен ли найденный \(y\) значениям, при которых знаменатель обращается в ноль: \(y = -\frac{13}{3}\) не равен \(\frac{1}{3}\) и \(-\frac{1}{3}\).

Ответ: \(y = -\frac{13}{3}\)