Решите уравнение \(\frac{4}{a^2 - 4} - \frac{1}{a^2 + 4a + 4} = \frac{1}{a - 2}\)

Решение:

Дано уравнение: \(\frac{4}{a^2 - 4} - \frac{1}{a^2 + 4a + 4} = \frac{1}{a - 2}\)

1. Разложим знаменатели на множители:
• \( a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2) \)
• \( a^2 + 4a + 4 = (a + 2)^2 \)
2. Приведём уравнение к общему знаменателю \( (a - 2)(a + 2)^2 \). Перед этим определим область допустимых значений: \( a
   e 2 \) и \( a
   e -2 \).
3. Перепишем уравнение:
\[ \frac{4(a + 2)}{(a - 2)(a + 2)^2} - \frac{a - 2}{(a - 2)(a + 2)^2} = \frac{1(a + 2)^2}{(a - 2)(a + 2)^2} \]
4. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:
\[ 4(a + 2) - (a - 2) = (a + 2)^2 \]
5. Раскроем скобки и приведём подобные члены:
\[ 4a + 8 - a + 2 = a^2 + 4a + 4 \] \[ 3a + 10 = a^2 + 4a + 4 \]
6. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\[ a^2 + 4a + 4 - 3a - 10 = 0 \] \[ a^2 + a - 6 = 0 \]
7. Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета.
• По теореме Виета: \( a_1 + a_2 = -1 \) и \( a_1 \cdot a_2 = -6 \).
• Подбираем корни: \( a_1 = 2 \) и \( a_2 = -3 \).
8. Проверим, входят ли найденные корни в область допустимых значений.
• \( a = 2 \) не входит в ОДЗ, так как знаменатель обращается в ноль.
• \( a = -3 \) входит в ОДЗ.
9. Следовательно, единственным решением уравнения является \( a = -3 \).

Ответ: a = -3.