Решите уравнение: \(\frac{4}{x^2 + 12x + 36} + \frac{12}{x^2 - 36} = \frac{1}{x - 6}\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них. Если уравнение не имеет корней, оставьте поле ответа пустым.

Решение:

1. Разложим знаменатели на множители:
   • \[x^2 + 12x + 36 = (x + 6)^2\]
   • \[x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)\]
2. Приведем уравнение к общему знаменателю:\[\frac{4}{(x + 6)^2} + \frac{12}{(x - 6)(x + 6)} = \frac{1}{x - 6}\]\[\frac{4(x - 6)}{(x + 6)^2(x - 6)} + \frac{12(x + 6)}{(x - 6)(x + 6)^2} = \frac{(x + 6)^2}{(x - 6)(x + 6)^2}\]
3. Умножим обе части на общий знаменатель:\[4(x - 6) + 12(x + 6) = (x + 6)^2\]
4. Раскроем скобки и решим линейное уравнение:\[4x - 24 + 12x + 72 = x^2 + 12x + 36\]\[16x + 48 = x^2 + 12x + 36\]\[0 = x^2 + 12x - 16x + 36 - 48\]\[0 = x^2 - 4x - 12\]
5. Найдем корни квадратного уравнения, используя дискриминант:\[D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-12) = 16 + 48 = 64\]\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6\]\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2\]
6. Проверим корни на допустимость (знаменатели не должны быть равны нулю):\[x eq 6, x eq -6\]
7. Корень $$x_1 = 6$$ не подходит, так как знаменатель $$x - 6$$ обращается в ноль.
8. Остается корень $$x_2 = -2$$.

Ответ: -2