Решите уравнение: \(\frac{5x-7}{x-3} = \frac{4x-3}{x}\)

Решение:

Для решения уравнения \(\frac{5x-7}{x-3} = \frac{4x-3}{x}\) приведём обе части к общему знаменателю. Умножим обе части уравнения на \(x(x-3)\), предварительно определив ОДЗ: \(x \neq 0\) и \(x \neq 3\).

\(x(5x-7) = (4x-3)(x-3)\)

Раскроем скобки:

\(5x^2 - 7x = 4x^2 - 12x - 3x + 9\)

\(5x^2 - 7x = 4x^2 - 15x + 9\)

Перенесём все члены уравнения в левую часть:

\(5x^2 - 4x^2 - 7x + 15x - 9 = 0\)

\(x^2 + 8x - 9 = 0\)

Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 10}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 10}{2 \cdot 1} = \frac{-18}{2} = -9 \]

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ. \(1 \neq 0\), \(1 \neq 3\). \(-9 \neq 0\), \(-9 \neq 3\). Оба корня подходят.

Ответ: x₁ = 1, x₂ = -9.