Решите уравнение: $$ \frac{9}{x^2 + 12x + 27} + \frac{1}{x+9} - \frac{7}{x^2 - 9} = 0 $$ Напишите в ответ наименьший из корней.

Решение:

1. Разложим знаменатели на множители: \( x^2 + 12x + 27 = (x+3)(x+9) \), \( x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \).
2. Приведём уравнение к общему знаменателю \( (x+3)(x+9)(x-3) \), учитывая, что \( x \neq -3, x \neq -9, x \neq 3 \).
3. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель: \( 9(x-3) + 1(x-3)(x-3) - 7(x+9) = 0 \)
4. Раскроем скобки и приведём подобные члены: \( 9x - 27 + x^2 - 6x + 9 - 7x - 63 = 0 \)
5. Упростим уравнение: \( x^2 - 4x - 81 = 0 \)
6. Найдём дискриминант: \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-81) = 16 + 324 = 340 \)
7. Найдём корни уравнения: \( x_1 = \frac{4 + \sqrt{340}}{2} = 2 + \sqrt{85} \), \( x_2 = \frac{4 - \sqrt{340}}{2} = 2 - \sqrt{85} \)
8. Проверим, не равны ли корни запрещённым значениям. \( \sqrt{85} \approx 9.2 \). \( x_1 \approx 11.2 \), \( x_2 \approx -7.2 \). Оба корня допустимы.
9. Наименьший корень: \( x_2 = 2 - \sqrt{85} \).

Ответ: \( 2 - \sqrt{85} \)