Решите уравнение: \(\frac{x+1}{2x+6} - \frac{2x}{3-x} = \frac{9(x+5)}{2(x^2-9)}\)

Решение:

Запишем уравнение: \(\frac{x+1}{2(x+3)} - \frac{2x}{3-x} = \frac{9(x+5)}{2(x^2-9)}\)

Приведём знаменатели к общему виду. Заметим, что \( 3-x = -(x-3) \) и \( x^2-9 = (x-3)(x+3) \).

Перепишем уравнение, учитывая это:

\[ \frac{x+1}{2(x+3)} + \frac{2x}{x-3} = \frac{9(x+5)}{2(x-3)(x+3)} \]

Общий знаменатель — \( 2(x-3)(x+3) \).

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, предварительно указав ОДЗ (область допустимых значений): \( x \neq -3 \) и \( x \neq 3 \).

\[ (x+1)(x-3) + 2x · 2(x+3) = 9(x+5) \]

Раскроем скобки:

\[ (x^2 - 3x + x - 3) + (4x^2 + 12x) = 9x + 45 \]

\[ x^2 - 2x - 3 + 4x^2 + 12x = 9x + 45 \]

Приведём подобные слагаемые:

\[ 5x^2 + 10x - 3 = 9x + 45 \]

Перенесём все члены в левую часть:

\[ 5x^2 + 10x - 9x - 3 - 45 = 0 \]

\[ 5x^2 + x - 48 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 · 5 · (-48) = 1 + 960 = 961 \]

Найдём корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{961}}{2 · 5} = \frac{-1 + 31}{10} = \frac{30}{10} = 3 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 31}{2 · 5} = \frac{-32}{10} = -3.2 \]

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень \( x_1 = 3 \) не входит в ОДЗ, так как \( x \neq 3 \). Корень \( x_2 = -3.2 \) удовлетворяет условию \( x \neq -3 \) и \( x \neq 3 \).

Таким образом, уравнение имеет один корень.

Ответ: x = -3.2.