Решите уравнение $$\frac{x^2-2}{x} + \frac{x}{x^2-2} = 2$$. Если уравнение имеет несколько корней, то в ответе укажите их сумму.

Решение:

Дано уравнение:

• \[ \frac{x^2-2}{x} + \frac{x}{x^2-2} = 2 \]

Чтобы решить это уравнение, сделаем замену переменной. Пусть $$y = \frac{x^2-2}{x}$$. Тогда уравнение примет вид:

• \[ y + \frac{1}{y} = 2 \]

Умножим обе части уравнения на $$y$$ (при условии, что $$y
eq 0$$):

• \[ y^2 + 1 = 2y \]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

• \[ y^2 - 2y + 1 = 0 \]

Это квадратное уравнение, которое является полным квадратом:

• \[ (y-1)^2 = 0 \]

Отсюда следует, что $$y = 1$$.

Теперь вернемся к замене переменной:

• \[ \frac{x^2-2}{x} = 1 \]

Умножим обе части уравнения на $$x$$ (при условии, что $$x
eq 0$$):

• \[ x^2-2 = x \]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

• \[ x^2 - x - 2 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант $$D = b^2 - 4ac$$, где $$a=1$$, $$b=-1$$, $$c=-2$$.

• \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]

Корни уравнения находятся по формуле $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$:

• \[ x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]
• \[ x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Мы получили два корня: $$x_1 = 2$$ и $$x_2 = -1$$. Оба корня не равны нулю, и при подстановке в исходное уравнение знаменатели не обращаются в ноль ($$x eq 0$$ и $$x^2 - 2 eq 0$$, то есть $$x eq \pm\sqrt{2}$$).

По условию задачи, если уравнение имеет несколько корней, нужно указать их сумму.

• \[ Сумма корней = x_1 + x_2 = 2 + (-1) = 1 \]

Ответ: 1