Решите уравнение: \(\frac{x^2 - 25}{|x - 5|} = 10\)

Решение:

Для решения уравнения \(\frac{x^2 - 25}{|x - 5|} = 10\) рассмотрим два случая, так как модуль \(|x - 5|\) может быть равен \(x - 5\) или \(-(x - 5)\).

1. Случай 1: \(x - 5 > 0\), т.е. \(x > 5\).

В этом случае \(|x - 5| = x - 5\). Уравнение примет вид:

\[\frac{x^2 - 25}{x - 5} = 10\]

Разложим числитель как разность квадратов: \(x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)\).

\[\frac{(x - 5)(x + 5)}{x - 5} = 10\]

Сократим \((x - 5)\) (так как \(x > 5\), \(x - 5 \neq 0\)):

\[x + 5 = 10\]

Вычтем 5 из обеих частей:

\[x = 10 - 5\]

\[x = 5\]

Однако, мы рассматривали случай \(x > 5\). Полученное значение \(x = 5\) не удовлетворяет этому условию. Следовательно, в этом случае решений нет.

2. Случай 2: \(x - 5 < 0\), т.е. \(x < 5\).

В этом случае \(|x - 5| = -(x - 5)\).

Уравнение примет вид:

\[\frac{x^2 - 25}{-(x - 5)} = 10\]

\[\frac{(x - 5)(x + 5)}{-(x - 5)} = 10\]

Сократим \((x - 5)\) (так как \(x < 5\), \(x - 5 \neq 0\)):

\[\frac{x + 5}{-1} = 10\]

\[-(x + 5) = 10\]

\[-x - 5 = 10\]

Прибавим 5 к обеим частям:

\[-x = 10 + 5\]

\[-x = 15\]

Умножим обе части на -1:

\[x = -15\]

Значение \(x = -15\) удовлетворяет условию \(x < 5\).

Ответ: x = -15.