Решите уравнение: \(\frac{x-2}{x+1} - \frac{5}{1-x} = \frac{x^2+27}{x^2-1}\)

Решение:

1. Приведём уравнение к общему знаменателю. Заметим, что \( x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \) и \( 1-x = -(x-1) \).
2. Запишем исходное уравнение: \(\frac{x-2}{x+1} - \frac{5}{-(x-1)} = \frac{x^2+27}{(x-1)(x+1)}\)
3. Упростим: \(\frac{x-2}{x+1} + \frac{5}{x-1} = \frac{x^2+27}{(x-1)(x+1)}\)
4. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \( (x-1)(x+1) \), учитывая, что \( x \neq 1 \) и \( x \neq -1 \): \((x-2)(x-1) + 5(x+1) = x^2+27\)
5. Раскроем скобки: \(x^2 - x - 2x + 2 + 5x + 5 = x^2+27\)
6. Упростим: \(x^2 + 2x + 7 = x^2 + 27\)
7. Вычтем \(x^2\) из обеих частей: \(2x + 7 = 27\)
8. Вычтем 7 из обеих частей: \(2x = 20\)
9. Разделим на 2: \(x = 10\)
10. Проверим, что \( x=10 \) не является посторонним корнем. \( 10 \neq 1 \) и \( 10 \neq -1 \).

Ответ: x = 10.